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1 注意力提示

1.1 自主性的与非自主性的注意力提示

非自主性提示：
可以简单地使用参数化的全连接层，甚至是非参数化的最大汇聚层或平均汇聚层。
自主性提示
注意力机制与全连接层或汇聚层区别开来。在注意力机制的背景下，自主性提示被称为查询（query）。给定任何查询，注意力机制通过注意力汇聚（attention pooling）将选择引导至感官输入（sensory inputs，例如中间特征表示）。在注意力机制中，这些感官输入被称为值（value）。

注意力机制通过注意力汇聚将查询（自主性提示）和键（非自主性提示）结合在一起，实现对值（感官输入）的选择倾向

1.2 注意力的可视化

平均汇聚层可以被视为输入的加权平均值， 其中各输入的权重是一样的。 实际上，注意力汇聚得到的是加权平均的总和值， 其中权重是在给定的查询和不同的键之间计算得出的。
为了可视化注意力权重，需要定义一个show_heatmaps函数。 其输入matrices的形状是 （要显示的行数，要显示的列数，查询的数目，键的数目）。

#@save
def show_heatmaps(matrices, xlabel, ylabel, titles=None, figsize=(2.5, 2.5),cmap='Reds'):"""显示矩阵热图"""d2l.use_svg_display()num_rows, num_cols = matrices.shape[0], matrices.shape[1]fig, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize,sharex=True, sharey=True, squeeze=False)for i, (row_axes, row_matrices) in enumerate(zip(axes, matrices)):for j, (ax, matrix) in enumerate(zip(row_axes, row_matrices)):pcm = ax.imshow(matrix.detach().numpy(), cmap=cmap)if i == num_rows - 1:ax.set_xlabel(xlabel)if j == 0:ax.set_ylabel(ylabel)if titles:ax.set_title(titles[j])fig.colorbar(pcm, ax=axes, shrink=0.6);

在本例子中，仅当查询和键相同时，注意力权重为1，否则为0。

attention_weights = torch.eye(10).reshape((1, 1, 10, 10))
show_heatmaps(attention_weights, xlabel='Keys', ylabel='Queries')

2 注意力汇聚：Nadaraya-Watson 核回归

注意力机制的主要成分：查询（自主提示）和键（非自主提示）之间的交互形成了注意力汇聚；注意力汇聚有选择地聚合了值（感官输入）以生成最终的输出。
考虑下面这个回归问题：给定的成对的“输入－输出”数据集 {(x1, y1), . . . ,(xn, yn)}，如何学习f来预测任意新输入x的输出yˆ = f(x)？
根据下面的非线性函数生成一个人工数据集，其中加入的噪声项为ϵ：

其中ϵ服从均值为0和标准差为0.5的正态分布。在这里生成了50个训练样本和50个测试样本。为了更好地可视化之后的注意力模式，需要将训练样本进行排序。

n_train = 50  # 训练样本数
x_train, _ = torch.sort(torch.rand(n_train) * 5)   # 排序后的训练样本

def f(x):return 2 * torch.sin(x) + x**0.8y_train = f(x_train) + torch.normal(0.0, 0.5, (n_train,))  # 训练样本的输出
x_test = torch.arange(0, 5, 0.1)  # 测试样本
y_truth = f(x_test)  # 测试样本的真实输出
n_test = len(x_test)  # 测试样本数
n_test

下面的函数将绘制所有的训练样本（样本由圆圈表示），不带噪声项的真实数据生成函数f（标记为“Truth”），以及学习得到的预测函数（标记为“Pred”）。

def plot_kernel_reg(y_hat):d2l.plot(x_test, [y_truth, y_hat], 'x', 'y', legend=['Truth', 'Pred'],xlim=[0, 5], ylim=[-1, 5])d2l.plt.plot(x_train, y_train, 'o', alpha=0.5);

2.1 平均汇聚

基于平均汇聚来计算所有训练样本输出值的平均值：

y_hat = torch.repeat_interleave(y_train.mean(), n_test)
plot_kernel_reg(y_hat)

显然， 真实函数𝑓（“Truth”）和预测函数（“Pred”）相差很大。

2.2 非参数注意力汇聚

平均汇聚忽略了输入xi，于是根据输入的位置对输出yi进行加权：

K是核（kernel）。所描述的估计器被称为 Nadaraya-Watson核回归。
受此启发，我们可以从注意力机制框架的角度重写，成为一个更加通用的注意力汇聚（attention pooling）公式：

x是查询，(xi, yi)是键值对。注意力汇聚是yi的加权平均。将查询x和键xi之间的关系建模为 注意力权重（attention weight）α(x, xi)，这个权重将被分配给每一个对应值yi。对于任何查询，模型在所有键值对注意力权重都是一个有效的概率分布：它们是非负的，并且总和为1。
举个例子：
考虑一个高斯核（Gaussian kernel），其定义为：

将高斯核代入可以得到：

在上面的表达式中，如果一个键xi越是接近给定的查询x，那么分配给这个键对应值yi的注意力权重就会越大，也就“获得了更多的注意力”。
Nadaraya‐Watson核回归是一个非参数模型。接下来，我们将基于这个非参数的注意力汇聚模型来绘制预测结果。从绘制的结果会发现新的模型预测线是平滑的，并且比平均汇聚的预测更接近真实。

# X_repeat的形状:(n_test,n_train),
# 每一行都包含着相同的测试输入（例如：同样的查询）
X_repeat = x_test.repeat_interleave(n_train).reshape((-1, n_train))
# x_train包含着键。attention_weights的形状：(n_test,n_train),
# 每一行都包含着要在给定的每个查询的值（y_train）之间分配的注意力权重
attention_weights = nn.functional.softmax(-(X_repeat - x_train)**2 / 2, dim=1)
# y_hat的每个元素都是值的加权平均值，其中的权重是注意力权重
y_hat = torch.matmul(attention_weights, y_train)
plot_kernel_reg(y_hat)

现在来观察注意力的权重。 这里测试数据的输入相当于查询，而训练数据的输入相当于键。 因为两个输入都是经过排序的，因此由观察可知“查询-键”对越接近， 注意力汇聚的[注意力权重]就越高。

d2l.show_heatmaps(attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),xlabel='Sorted training inputs',ylabel='Sorted testing inputs')

2.3 带参数注意力汇聚

在下面的查询x和键xi之间的距离乘以可学习参数w：

接下来训练上面这个模型来学习注意力汇聚的参数w。

批量矩阵乘法

为了更有效地计算小批量数据的注意力，我们可以利用深度学习开发框架中提供的批量矩阵乘法。
假设第一个小批量数据包含n个矩阵X1, . . . , Xn，形状为a × b，第二个小批量包含n个矩阵Y1, . . . , Yn，形状为b × c。它们的批量矩阵乘法得到n个矩阵 X1Y1, . . . , XnYn，形状为a × c。因此，假定两个张量的形状分别是(n, a, b)和(n, b, c)，它们的批量矩阵乘法输出的形状为(n, a, c)。

在注意力机制的背景中，我们可以[使用小批量矩阵乘法来计算小批量数据中的加权平均值。

定义模型

定义Nadaraya‐Watson核回归的带参数版本为：

class NWKernelRegression(nn.Module):def __init__(self, **kwargs):super().__init__(**kwargs)self.w = nn.Parameter(torch.rand((1,), requires_grad=True))def forward(self, queries, keys, values):# queries和attention_weights的形状为(查询个数，“键－值”对个数)queries = queries.repeat_interleave(keys.shape[1]).reshape((-1, keys.shape[1]))self.attention_weights = nn.functional.softmax(-((queries - keys) * self.w)**2 / 2, dim=1)# values的形状为(查询个数，“键－值”对个数)return torch.bmm(self.attention_weights.unsqueeze(1),values.unsqueeze(-1)).reshape(-1)

训练

将训练数据集变换为键和值用于训练注意力模型。 在带参数的注意力汇聚模型中， 任何一个训练样本的输入都会和除自己以外的所有训练样本的“键－值”对进行计算， 从而得到其对应的预测输出。

# X_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输入
X_tile = x_train.repeat((n_train, 1))
# Y_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输出
Y_tile = y_train.repeat((n_train, 1))
# keys的形状:('n_train'，'n_train'-1)
keys = X_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))
# values的形状:('n_train'，'n_train'-1)
values = Y_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))

训练带参数的注意力汇聚模型时，使用平方损失函数MSE和随机梯度下降SGD。

net = NWKernelRegression()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', xlim=[1, 5])for epoch in range(5):trainer.zero_grad()l = loss(net(x_train, keys, values), y_train)l.sum().backward()trainer.step()print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(l.sum()):.6f}')animator.add(epoch + 1, float(l.sum()))

训练完带参数的注意力汇聚模型后可以发现： 尝试拟合带噪声的训练数据，

# keys的形状:(n_test，n_train)，每一行包含着相同的训练输入（例如，相同的键）
keys = x_train.repeat((n_test, 1))
# value的形状:(n_test，n_train)
values = y_train.repeat((n_test, 1))
y_hat = net(x_test, keys, values).unsqueeze(1).detach()
plot_kernel_reg(y_hat)

预测结果绘制的线不如之前非参数模型的平滑。为什么新的模型更不平滑了呢？ 下面看一下输出结果的绘制图：

d2l.show_heatmaps(net.attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),xlabel='Sorted training inputs',ylabel='Sorted testing inputs')

与非参数的注意力汇聚模型相比， 带参数的模型加入可学习的参数后， 曲线在注意力权重较大的区域变得更不平滑。